7. DIVISIÓ DE LA CIRCUMFERÈNCIA EN PARTS IGUALS

Molts dels dissenys decoratius que trobem al nostre voltant tenen com a base mòduls nascuts  de la divisió de la circumferència en parts iguals. Per això és important conèixer la manera de realitzar aquestes senzilles divisions .

Per portar a terme aquests traçats hauràs de fer servir les plantilles (l’escaire i el cartabó) i el compàs, un instrument, aquest últim, que ha acompanyat els traçats geomètrics d’un gran nombre de professionals (matemàtics, artistes, delineants, mariners, geògrafs, etc.) des de fa segles.

Jan VERMEER DE DELFT. “El geògraf”, 1669.

En aquest fragment de la coneguda obra del pintor flamenc, 

hi veiem un geògraf emprant el compàs per mesurar distàncies sobre el mapa.

7.1. DIVISIÓ EN 2, 3, 4, 6 i 8 PARTS IGUALS

•Divisió en 2 parts. Per dividir la circumferència en dues parts iguals, es traça un diàmetre qualsevol AB d’aquesta circumferència.

•Divisió en 3 parts. Per dividir la circumferència en tres parts, es pren com a centre un extrem del diàmetre AB i es traça un arc de radi agual al de la circumferència, a la qual tallarà a C i D.

La unió del centre O amb A, C i D divideix la circumferència en les tres parts iguals.

•Divisió en 6 parts. Amb centre en els extrems A i B es tracen dos arcs de radi el de la circumferència, i s’obtenen els punts C, D, E i F, respectivament, que, juntament amb A i B, determinen els punts necessaris per dividir la circumferència en sis parts iguals.

Una altra manera de dividir-la és traslladar sis vegades la magnitid del radi al llarg de la circumferència, a partir d’un punt qualsevol d’ella.

•Divisió en 4 i 8 parts. Es tracen dos diàmetres perpendiculars entre si  que tallen la circumferència en els punts A, B, C i D. Els segments que uneixen el centre O amb cadascun d’aquests punts divideixen la circumferència en quatre parts iguals.

Per dividir-la en vuit parts iguals es tracen les bisectrius dels diàmetres anteriors (rectes a 45°).

A continuació et mostro exemples de dissenys gràfics de logotips i marques comercials on hi és present la circumferència i polígons regulars que es poden inscriure en una circumferència...

També podem trobar la divisió de la circumferència en parts iguals ens els vitralls de les esglésies gòtiques...

6. LLOCS GEOMÈTRICS BÀSICS EN EL PLA

S’anomena lloc geomètric el conjunt de punts que compleixen una mateixa condició o propietat.

•Circumferència. És el lloc geomètric dels punts del pla equidistants (una determinada magnitud r) d’un punt fix O anomenat centre.

•Mediatriu d’un segment. Lloc geomètric dels punts del pla equidistants dels extrems del segment AB donat.

•Aquesta mediatriu és la recta perpendicular al segment pel seu punt mitjà M.

-Traçat:

Amb centre en els extrems del segment, es tracen arcs del mateix radi (s) que es tallen en dos punts P i Q. La seva unió determina la recta mediatriu.

•Bisectriu d’un angle. És el lloc geomètric dels punts del pla equidistants dels costats de l’angle.

La bisectriu és la semirecta que divideix l’angle en dues parts iguals.

-Traçat:

Amb centre en el vèrtex V es dibuixa un arc que talla els costats en els punts A i B. Amb centre en aquest punts, es tracen dos arcs del mateix radi (n), i s’aconsegueix el punt P. La recta PV determina la bisectriu.

Mitjana (paral·lela mitjana). El lloc geomètric dels punts que equidisten de dues rectes paral·leles r i s és la paral·lela mitjana d’aquestes rectes. Així doncs, en una autovia, la mitjana és l’espai intermedi que separa els dos carrils.

5. DISTÀNCIES

S’anomena distància la longitud més curta entre dos elements geomètrics (punt, rectes, plans, formes, etc.). Analitzem les distàncies més significatives:

•Entre dos punts A i B. Queda determinada per la magnitud del segment AB que els uneix.

•D’un punt P a una recta r. És la magnitud del segmeng PQ que resulta de traçar des del punt P la perpendicular a la recta r.

•Entre dues rectes paral·leles r i s. És la longitud del segment AB que es determina en traçar una recta perpendicular a les donades.

•D’ún punt P a una circumferència. És la magnitud del segment PC que resulta d’unir el punt P amb el centre O de la circumferència.

•Entre una circumferència i una recta r exterior a ella. És la magnitud del segment PC obtingut en traçar des del centre de la circumferència la perpendicular a la recta r considerada.

•Entre dues circumferències exteriors. És la magnitud definida pel segment AB contingut en la recta que uneix els centres de les dues circumferències.

•Entre dues circumferències interiors. És la magnitud definida del segment AB contingut en la recta que uneix els centres de les dues circumferències.

Un cas particular d’això és el que es presenta quan les circumferències són concèntriques; aleshores, l’amplària de la corona circular és determinada per la diferència entre els seus radis.

4. SUMA I DIFERÈNCIA D'ANGLES

3. SUMA I DIFERÈNCIA DE SEGMENTS

2. TRANSPORT DE MESURES

Traçat d’un segment igual a un altre AB.

Portem, amb l’obertura del compàs, la magnitud AB a una altra posició a partir d’un punt origen M determinat, i obtenim MN = AB.

Traçat d’un angle igual a un altre α.

Atès que a tot arc  de circumferència que tingui el mateix radi li correspon una  mateixa corda, per copiar un angle dibuixem un mateix arc (de radi r) i transportem amb el compàs la corda (s) corresponent.

1. CONCEPTE DE MESURA

Mesurar és  comparar una dimensió (o quantitat) respecte a una altra que es pren com a unitat.

Fa menys de dos segles encara hi havia diferents unitats de mesura que s’empraven habitualment al món. Les distàncies es mesuraven en peus, pams, colzes, vares, llegües..., cosa que creava confusions. A les acaballes del segle XVIII, amb l’objectiu d’unificar criteris s’estableix el sistema mètric decimal, que és el que avui dia s’utilitza.

Per mesurar magnituds lineals, fem servir com a unitat el metre amb les seves mesures superiors i inferiors: múltiples i submúltiples.

Per a mesures angulars, utilitzem el sistema sexagesimal. Com a unitat, en el dibuix, es fa servir el grau sexagesimal (°), que és el valor de l’angle central que resulta en dividir la circumferència en 360 parts iguals. Com a submúltiples del grau hi ha el minut (‘) i el segon (“).